quinta-feira, 18 de julho de 2013

4 problemas matemáticos "infinitos"

O infinito não é um número, não é uma medida: é uma ideia, que representa o que não tem limites ou fim. O conjunto dos números naturais, por exemplo, é infinito, por que não importa qual o número que você tem, sempre poderá adicionar 1 e obter o número subsequente.

Mesmo sendo a representação de uma ideia, e não um número, o infinito tem algumas propriedades numéricas que permitem que a gente trabalhe com ele.

Por exemplo, se representarmos esta ideia com o símbolo ∞, podemos escrever ∞ + 1 = ∞, que pode ser interpretado com “se algo não tem fim, você pode somar 1 e ela ainda será sem fim”.


A coisa mais importante sobre o infinito é que – ∞ < x < ∞, onde x é um número real, que é uma abreviação para a frase "menos infinito é menor que qualquer número real, e infinito é maior que qualquer número real".

Algumas operações com o ∞ são indefinidas, como, por exemplo, ∞ + ∞ = ∞, ou - ∞ + - ∞ = ∞. Além disso, existem também os conjuntos com infinitos elementos, e a ideia de tamanhos diferentes de infinitos.

Mas o mais bizarro são os paradoxos que temos com os números infinitos. Um paradoxo é uma noção verdadeira que desafia nossa intuição, ou até mesmo a lógica. Vejamos alguns paradoxos envolvendo o infinito:

1. Hotel de Hilbert


Imagine um hotel com infinitos quartos, e que todos eles estão ocupados. Chega um viajante no hotel, e pede para se hospedar. Só que não tem vagas; apesar de ter infinitos quartos, o hotel já está totalmente ocupado.

Mas o gerente é um sujeito que não manda ninguém embora, e faz o seguinte: pede para o hóspede do quarto 1 se mudar para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 se mudar para o quarto 3, o hóspede do quarto 3 se mudar para o quarto 4, e assim por diante.

E pronto, o hotel que estava cheio, agora tem uma vaga para o novo hóspede. Usando esta estratégia, o gerente do hotel pode acomodar um novo hóspede, 10 novos hóspedes, um milhão de novos hóspedes, ou até um número infinito de novos hóspedes.

Este paradoxo foi proposto pelo matemático alemão David Hilbert, e é um paradoxo porque a nossa definição de hotel cheio é que não há vagas para novos hóspedes. Mas se o hotel tiver infinitos quartos, mesmo que todos eles estejam cheios, ainda assim dá para acomodar um conjunto de novos hóspedes, até mesmo infinitos novos hóspedes.

2. Trombeta de Gabriel


A Trombeta de Gabriel, ou a Trombeta do Anjo Gabriel, ou ainda a Trombeta de Torricelli é uma superfície na forma de um funil (ou de trombeta). Ela começa larga e vai afinando rapidamente, mas nunca fica fechada – ou seja, segue até o infinito.

A superfície da trombeta é infinita, mas o volume que ela envolve não é infinito (uma ideia matemática). Suponha que você tenha que pintar de dourado o lado de dentro desta trombeta. A superfície dela é infinita, então você precisa de uma quantidade infinita de tinta, certo? Bem, você pode pegar uma quantia finita de tinta, correspondendo ao volume da trombeta, e jogar esta tinta na trombeta, deixando ela escorrer.

Você pode escolher aí o que vai te deixar mais desconfortável: se é uma superfície infinita envolver um volume finito, ou se é uma quantia finita de tinta cobrir uma superfície infinita.

O discípulo de Galileu Evangelista Torricelli foi o primeiro a pensar neste problema, que ele achou tão extraordinário que a princípio imaginou que tivesse feito alguma coisa errada.
Outros filósofos e matemáticos ficaram tão horrorizados com os paradoxos que surgiam com o infinito, que chegaram a propor o banimento da ideia.

3. O enigma do jogo de dardos


Suponha que você tem um alvo, um dardo, e 100% de certeza que irá acertar o alvo em alguma parte. Agora pense na ponta do dardo, o ponto matemático exato da sua extremidade, e pense em um ponto matemático no alvo. A pergunta é, qual a probabilidade que aquele ponto tem de ser atingido pelo dardo?

Podemos começar supondo que há uma chance maior que zero daquele ponto ser atingido pelo dardo. Só que aí começam os problemas. Se há uma chance maior que zero de um ponto ser atingido, então há uma chance maior que zero para todos os outros pontos, de que eles serão atingidos pelo dardo. Mas existem infinitos pontos no nosso alvo.

Se você somar as probabilidades de todos os pontos, vai chegar à conclusão de que o alvo todo tem uma probabilidade infinita de que ser atingido, o que não faz sentido, já que esta probabilidade não pode ser maior que 100%.

E o que acontece se imaginarmos que a probabilidade de um ponto ser atingido é zero? Se a probabilidade de acertar aquele ponto particular é zero, então ela é zero para todos os outros pontos, e se somarmos as probabilidades de todos os pontos para ter a probabilidade de acertar o alvo, ela é zero. Mas temos certeza de que o alvo será atingido, como pode ser zero, então?

4. Duplicando seu dinheiro


Imagine que um cassino esteja oferecendo um novo jogo. O jogo começa com um real no banco de apostas. A pessoa joga uma moeda. Se sair cara, o que tem no banco de apostas é dobrado, se sair coroa, o jogo termina e o jogador ganha o que tiver no banco de apostas.

Quanto você pagaria para entrar neste jogo? Ou quanto seria justo para o cassino cobrar? Se você souber um pouco de matemática já deve ter ouvido falar em “esperança matemática”, ou seja, em um jogo envolvendo probabilidade do ganho esperado. E qual o ganho esperado neste jogo?

A maioria provavelmente apostaria R$ 5,00, talvez um pouco mais, mas o que a matemática diz é: “aposte o que você tiver, a esperança de ganho é infinito”. O jogador tem probabilidade de 50% de ganhar R$ 1, 25% de probabilidade de ganhar R$ 2, 12,5% de ganhar R$ 4, e assim por diante. O valor esperado é a soma da probabilidade multiplicada pelo valor do prêmio, assim:

E = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + …

Esta é uma soma de infinitas frações 1/2, e o resultado é infinito. Ou seja, matematicamente falando, a esperança matemática de ganho é infinita. Mas, paradoxalmente, muita pouca gente está disposta a pagar alguma coisa a mais que R$ 20,00 para jogar este jogo.

Obviamente, estamos falando de um cassino hipotético, capaz de colocar quanto dinheiro for necessário no banco de apostas. Na prática, haverá um limite para o prêmio máximo, e também para o número máximo de jogadas (ninguém vai ficar lançando uma moeda infinitas vezes).

Talvez o paradoxo surja daí: ninguém espera ou consegue entender um cassino capaz de cobrir um prêmio infinito ou uma série infinita de caras em uma série infinita de lances de moeda. 

Fonte: Hypescience.

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